人教社•普通高級(jí)中學(xué)教科書(選修Ⅱ)
第三章第一節(jié)《導(dǎo)數(shù)的概念》(第三課時(shí))
湖北省利川市第一中學(xué)張朝安
導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一,是一種思想方法,這種思想方法是人類智慧的驕傲.《導(dǎo)數(shù)的概念》這一節(jié)內(nèi)容,大致分成四個(gè)課時(shí),我主要針對(duì)第三課時(shí)的教學(xué),談?wù)勎业睦斫馀c設(shè)計(jì),敬請(qǐng)各位專家斧正.
一、教材分析
1.1編者意圖《導(dǎo)數(shù)的概念》分成四個(gè)部分展開,即:“曲線的切線”,“瞬時(shí)速度”,“導(dǎo)數(shù)的概念”,“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”,編者意圖在哪里呢?用前兩部分作為背景,是為了引出導(dǎo)數(shù)的概念;介紹導(dǎo)數(shù)的幾何意義,是為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解.從而充分借助直觀來引出導(dǎo)數(shù)的概念;用極限思想抽象出導(dǎo)數(shù);用函數(shù)思想拓展、完善導(dǎo)數(shù)以及在應(yīng)用中鞏固、反思導(dǎo)數(shù),教材的顯著特點(diǎn)是從具體經(jīng)驗(yàn)出發(fā),向抽象和普遍發(fā)展,使探究知識(shí)的過程簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)、有效.
1.2導(dǎo)數(shù)概念在教材的地位和作用“導(dǎo)數(shù)的概念”是全章核心.不僅在于它自身具有非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu),更重要的是,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是一種高明的數(shù)學(xué)思維,用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性,獲得更為理想的結(jié)果;把運(yùn)算對(duì)象作用于導(dǎo)數(shù)上,可使我們擴(kuò)展知識(shí)面,感悟變量,極限等思想,運(yùn)用更高的觀點(diǎn)和更為一般的方法解決或簡(jiǎn)化中學(xué)數(shù)學(xué)中的不少問題;導(dǎo)數(shù)的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具,在在其它學(xué)科中同樣具有十分重要的作用;在物理學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科和生產(chǎn)、生活的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)推動(dòng)了人類事業(yè)向前發(fā)展.
1.3教材的內(nèi)容剖析知識(shí)主體結(jié)構(gòu)的比較和知識(shí)的遷移類比如下表:
表1.知識(shí)主體結(jié)構(gòu)比較
通過比較發(fā)現(xiàn):求切線的斜率和物體的瞬時(shí)速度,這兩個(gè)具體問題的解決都依賴于求函數(shù)的極限,一個(gè)是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限,一個(gè)是“位置改變量與時(shí)間改變量之比”的極限,如果舍去問題的具體含義,都可以歸結(jié)為一種相同形式的極限,即“平均變化率”的極限.因此以兩個(gè)背景作為新知的生長(zhǎng)點(diǎn),不僅使新知引入變得自然,而且為新知建構(gòu)提供了有效的類比方法.
1.4重、難點(diǎn)剖析
重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的概念的形成過程.
難點(diǎn):對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解.
為什么這樣確定呢?導(dǎo)數(shù)概念的形成分為三個(gè)的層次:f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)→f(x)在開區(qū)間(,b)內(nèi)可導(dǎo)→f(x)在開區(qū)間(,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)→導(dǎo)數(shù),這三個(gè)層次是一個(gè)遞進(jìn)的過程,而不是專指哪一個(gè)層次,也不是幾個(gè)層次的簡(jiǎn)單相加,因此導(dǎo)數(shù)概念的形成過程是重點(diǎn);教材中出現(xiàn)了兩個(gè)“導(dǎo)數(shù)”,“兩個(gè)可導(dǎo)”,初學(xué)者往往會(huì)有這樣的困惑,“導(dǎo)數(shù)到底是個(gè)什么東西?一個(gè)函數(shù)是不是有兩種導(dǎo)數(shù)呢?”,“導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是怎么統(tǒng)一的?”.事實(shí)上:(1)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是這一點(diǎn)x0到x0+△x的變化率的極限,是一個(gè)常數(shù),區(qū)別于導(dǎo)函數(shù).(2)f(x)的導(dǎo)數(shù)是對(duì)開區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言,是x到x+△x的變化率的極限,是f(x)在任意點(diǎn)的變化率,其中滲透了函數(shù)思想.(3)導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)數(shù)!是特殊的函數(shù):先定義f(x)在x0處可導(dǎo)、再定義f(x)在開區(qū)間(,b)內(nèi)可導(dǎo)、最后定義f(x)在開區(qū)間的導(dǎo)函數(shù).(4)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值,表示為這也是求f′(x0)的一種方法.初學(xué)者最難理解導(dǎo)數(shù)的概念,是因?yàn)槌鯇W(xué)者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個(gè)關(guān)鍵詞的區(qū)別和聯(lián)系,會(huì)出現(xiàn)較大的分歧和差別,要突破難點(diǎn),關(guān)鍵是找到“f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)”、“f(x)在開區(qū)間的導(dǎo)函數(shù)”和“導(dǎo)數(shù)”之間的聯(lián)系,而要弄清這種聯(lián)系的最好方法就是類比!用“速度與導(dǎo)數(shù)”進(jìn)行類比.
二、目的分析
2.1學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn).在知識(shí)方面,對(duì)函數(shù)的極限已經(jīng)熟悉,加上兩個(gè)具體背景的學(xué)習(xí),新知教學(xué)有很好的基礎(chǔ);在技能方面,高三學(xué)生,有很強(qiáng)的概括能力和抽象思維能力;在情感方面,求知的欲望強(qiáng)烈,喜歡探求真理,具有積極的情感態(tài)度.
2.2教學(xué)目標(biāo)的擬定.鑒于這些特點(diǎn),并結(jié)合教學(xué)大綱的要求以及對(duì)教材的分析,擬定如下的教學(xué)目標(biāo):
知識(shí)目標(biāo):①理解導(dǎo)數(shù)的概念.
、谡莆沼枚x求導(dǎo)數(shù)的方法.
、垲I(lǐng)悟函數(shù)思想和無限逼近的極限思想.
能力目標(biāo):①培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象和概括的能力.
、谂囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)表示和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.
情感目標(biāo):通過導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí),使學(xué)生體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無限對(duì)立統(tǒng)一”的辯證觀
點(diǎn).接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的積極態(tài)度.
三、過程分析
設(shè)計(jì)理念:遵循特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,結(jié)合可接受性和可操作性原則,把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過程之中,通過演繹導(dǎo)數(shù)的形成,發(fā)展和應(yīng)用過程,幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)概念.
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